4影子價格

牧童 · 發表于 2008-1-17 17:00:11

4影子價格
什么是影子價格？如果某配方師要用A、B、C、...等原料設計某種飼料配方，這些原料的單位價格就叫做這種原料的市場價格。而某種原料的影子價格則是指：在得到最佳配方后,配方中某種原料用量增減一個單位，使飼料配方的成本增加或降低多少。例如棉粕有毒，在飼料配方中的用量一般要限制。假如棉粕到廠價格為 1.35元/kg，則不考慮貯存耗費時就可認為棉粕市場價格是1.35元/kg。如果在用線性規劃法設計好的最佳配方的基礎上,飼料配方中多使用一個單位的棉粕(當然就要相應地降低其它原料的用量)可使配方成本降低0.05元/kg，則這個0.05元/kg就是棉粕的影子價格。△ Y=影子價格*△B，式中 Y為目標函數，B為約束值。影子價格表示每單位約束值對目標函數的影響度。
數學家已經證明了，影子價格就是對偶規劃的最優解。所以可借助對偶規劃來計算各種原料的影子價格，從而為及時合理地設計和修訂飼料配方提供科學依據。對偶線性規劃問題不僅在解線性規劃問題時為我們提供了一個避繁就簡的實用方法，而且在經濟學中有重要意義。所以在飼料配方設計中，配方師應十分重視影子價格。
為便于理解,我們通過實際例子來解釋。
例1. 設計豬飼料配方,為了簡單這里只考慮粗蛋白、鈣和磷三種養分。可以考慮如下線性規劃問題：
C＝1.2*X1＋2.6*X2＋1.7*X3 ＋0.8*X4
式中X1、X2、X3 、X4 分別表示玉米、豆粕、磷酸氫鈣和食鹽，系數是各種飼料原料的價格。

約束條件:

85*X1＋430*X2＋ 0*X3＋0*X4≥16.5

0.2*X1＋3.2*X2＋28*X3＋350*X4≥3.5
1.2*X1＋3.1*X2＋100*X3＋0*X4≥0.33
Xj≥0，j＝1，2，3，4
現在我們看如下線性規劃問題：
max s ＝16.5*y1＋3.5*y2＋0.33*y3

85*y1＋0.2*y2＋1.2*y3 ≤1.2

430*y1＋3.2*y2＋3.1*y3≤2.6

0.0*y1＋280*y2＋100*y3≤1.7

0.0*y1＋350*y2＋0.0*y3≤0.8

yj≥0，j＝1，2，3。
比較上述兩個線性規劃問題,不難發現它們之間存在如下一些規律性的關系：
第一，兩個線性規劃問題中約束條件的系數之間的關系是行和列互換。原規劃問題約束條件中每一行的系數,與新規劃問題約束條件中每一列的系數相對應；原規劃問題的約束條件中每一列的系數,與新規劃問題的約束條件中每一行的系數相對應。
這用矩陣方式解釋最清楚:兩個線性規劃問題中約束條件的系數矩陣互為轉置矩陣。在原規劃中，約束條件的系數矩陣為：
85  430  0.0  0.0
0.2 3.2  280  350
1.2 3.1  100  0.0
而在新線性規劃問題中約束條件的系數矩陣為：
85  0.2  1.2
430 3.2  3.1
0.0 280  100
0.0 350  0.0

這兩個矩陣的行和列正好互換。

第二，原規劃問題中右手側的常數，正好是新規劃問題的目標函數中各自變量的系數；新規劃問題中約束條件的右手側常數，也正好是原規劃問題的目標函數中自變量的系數。

第三，原規劃問題中約束條件中的不等式符號如果是“≥”，那么新規劃問題中約束條件中的不等式符號就是“≤”。

第四，如果原線性規劃問題中的目標函數是求最小值，那么新線性規劃問題中的目標函數就是求最大值。
第五,運籌學已證明，若原問題和新問題都可行，則兩者均有最優解，且兩者的最優解相同。就是說,原問題目標函數的最小值Min C0與新問題目標函數的最大值Maxg相等，MinC0＝Maxg。
由于兩個線性規劃具有上述關系，所以稱它們互為對偶規劃。這種對偶問題，表現為相互交叉的表里關系，如果一方得到解，就能推導出另一方解。
現在可把這兩個相互對偶的線性規劃問題表示如表1。在上面的討論中，原規劃問題的右邊項b是飼養標準指標構成的向量，對偶規劃問題最優解中的yi值是飼養標準向量b中各種養分資源的成本。這個反面變量的解yi叫做影子價格。yi的值就相當于對第 i種養分，當實現最大利潤時的一種價格估計，是根據養分資源在生產中所做貢獻而作的估價，所以把對偶規劃中的決策變量Yi（i=1，2，３）叫做養分資源bi（i=1，2，3）的＂影子價格＂或＂機會成本＂。